La solution n'est ici pas très évidente. La solution que je préfère est de faire une boucle for inversée (où l'on décrémente au lieu d'incrémenter). L'utilisation d'une boucle for incrémentée n'est pas possible, car en supprimant le premier élément <br />, le tableau d'éléments retourné par getElementsByTagName() est modifié, ce qui fait que l'itération suivante provoquera une erreur, car l'élément pointé par brs[i] n'existera plus. La solution consiste donc à parcourir le tableau à l'envers, et supprimer les éléments du dernier au premier :

var output = document.getElementById('output');	
var brs    = output.getElementsByTagName('br');

for (var i=brs.length; i>0; i--) {
    brs[i - 1].parentNode.removeChild(brs[i - 1]);
}

Une seconde solution serait, comme la précédente, de stocker la liste des <br />, mais d'utiliser une boucle while pour boucler tant que le nombre de <br> est différent de zéro. Car à chaque fois qu'un saut de ligne sera retiré, le nombre d'éléments répertoriées par la variable brs sera modifié en conséquence :

var output = document.getElementById('output');
var brs    = output.getElementsByTagName('br');

while (brs.length !== 0){
    brs[0].parentNode.removeChild(brs[0]);
}

Une sous-solution à la précédente serait de faire une boucle qui s'exécute tant que le premier <br /> existe. Je suis moins fan de cette technique, car elle implique de faire un getElementsByTagName() à chaque tour de boucle...

var output = document.getElementById('output'), br;

while (br = output.getElementsByTagName('br')[0]) {
    br.parentNode.removeChild(br);
}