Ce qu'il faut, c'est ajouter un évènement click sur claque item, lequel déclenchera une fonction qui se chargera d'afficher le prompt() et de modifier le texte. Concernant la fonction, c'est simple : on récupère la texte avec this.innerHTML, que l'on affiche dans le prompt() en second paramètre :

var output = document.getElementById('output'), items;

if (output) {
    items = output.getElementsByTagName('li');

    for (var i=0, c=items.length; i<c; i++) {
        items[i].onclick = function() {
            var originalText = this.innerHTML;
            var newText      = prompt("Modifiez le texte", originalText);

            if (newText) { // Si l'utilisateur n'a pas fait 'Annuler', alors on modifie
                this.innerHTML = newText;
            }
        };
    }
}

Mais tout ça est un peu trop verbeux ; faisons plus court :

var output = document.getElementById('output'), items;

if (output) {
    items = output.getElementsByTagName('li');

    for (var i=0, c=items.length; i<c; i++) {
        items[i].onclick = function() {
            if (text = prompt("Modifiez le texte", this.innerHTML)) {
                this.innerHTML = text;
            }
        };
    }
}

Et y'a même moyen de faire mieux, par exemple en utilisant querySelectorAll() :

var items = document.querySelectorAll('#output li');

for (var i=0, c=items.length; i<c; i++) {
    items[i].onclick = function() {
        if (text = prompt("Modifiez le texte", this.innerHTML)) {
            this.innerHTML = text;
        }
    };
}

On a utilisé onclick, mais il aurait été possible d'utiliser addEventListener(), ou son équivalent attachEvent() pour les anciennes versions d'Internet Explorer (avant la version 9) :

    for (var i=0, c=items.length; i<c; i++) {
        items[i].addEventListener("click", function() {
            if (text = prompt("Modifiez le texte", this.innerHTML)) {
                this.innerHTML = text;
            }
        }, false);
    }

S'il est nécessaire d'utiliser addEventListener() ou attachEvent(), il vaut mieux posséder une fonction qui se charge d'utiliser le mon listener. Cette fonction, addEvent(), est donnée dans le cours de Javascript :

function addEvent(element, event, func) {
    if (element.addEventListener) {
        element.addEventListener(event, func, false);
    } else {
        element.attachEvent('on' + event, func);
    }
}

var output = document.getElementById('output'), items;

if (output) {
    items = output.getElementsByTagName('li');	
		
    for (var i=0, c=items.length; i<c; i++) {
        addEvent(items[i], "click", function() {
            if (text = prompt("Modifiez le texte", this.innerHTML)) {
                this.innerHTML = text;
            }
        });
    }
}